Задача 57736

Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Точки P₁, P₂ и P₃, не лежащие на одной прямой, расположены внутри выпуклого 2n-угольника A₁...A_2n. Докажите, что если сумма площадей треугольников A₁A₂P_i, A₃A₄P_i,..., A_{2n - 1}A_2nP_i равна одному и тому же числу c для i = 1, 2, 3, то для любой внутренней точки P сумма площадей этих треугольников равна c.

Решение

Пусть a_j = . Тогда удвоенная сумма площадей указанных треугольников для любой внутренней точки P равна

(x + a₁) (x + a₂) + (x + a₃) (x + a₄) +...+ (x + a_{2n - 1}) (x + a_2n),

где x = ; от удвоенной суммы площадей этих треугольников для точки P₁ она отличается на x (a₁ - a₂ + a₃ - a₄ +...+ a_{2n - 1} - a_2n) = x a. По условию x a = 0 при x = и  x = , причем эти векторы не параллельны. Следовательно, a = 0, т. е. x a = 0 для любого вектора  x.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	7
Название	Псевдоскалярное произведение
Тема	Псевдоскалярное произведение
задача
Номер	13.053