Задача 57738

Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Пусть H₁, H₂ и H₃ — ортоцентры треугольников A₂A₃A₄, A₁A₃A₄ и A₁A₂A₄. Докажите, что площади треугольников A₁A₂A₃ и H₁H₂H₃ равны.

Решение

Пусть a_i = и  w_i = . Согласно задаче 13.49, б) достаточно проверить, что a₁ a₂ + a₂ a₃ + a₃ a₁ = w₁ w₂ + w₂ w₃ + w₃ w₁. Векторы a₁ - w₂ и  a₂ - w₁ перпендикулярны вектору  a₃, поэтому они параллельны, т. е. (a₁ - w₂) (a₂ - w₁) = 0. Сложив это равенство с равенствами (a₂ - w₃) (a₃ - w₂) = 0 и  (a₃ - w₁) (a₁ - w₃) = 0, получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	7
Название	Псевдоскалярное произведение
Тема	Псевдоскалярное произведение
задача
Номер	13.055