Задача 57750

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 2 Классы: 9

Условие

Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Решение

Поместим в точки A, B и C единичные массы. Пусть O — центр масс этой системы точек. Точка O является также центром масс точки A с массой 1 и точки A₁ с массой 2, где A₁ — центр масс точек B и C с единичными массами, т. е. A₁ — середина отрезка BC. Поэтому точка O лежит на медиане AA₁ и делит ее в отношении AO : OA₁ = 2 : 1. Аналогично доказывается, что остальные медианы проходят через точку O и делятся ею в отношении 2 : 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.004