Условие
На сторонах
AB,
BC,
CD и
DA выпуклого четырехугольника
ABCD
взяты точки
K,
L,
M и
N соответственно, причем
AK :
KB =
DM :
MC =
и
BL :
LC =
AN :
ND =
. Пусть
P —
точка пересечения отрезков
KM и
LN. Докажите, что
NP :
PL =
и
KP :
PM =
.
Решение
Поместим в точки
A,
B,
C и
D массы 1,
,
и
соответственно. Тогда точки
K,
L,
M и
N являются
центрами масс пар точек (
A,
B), (
B,
C), (
C,
D) и (
D,
A)
соответственно. Пусть
O — центр масс точек
A,
B,
C и
D
с указанными массами. Тогда
O лежит на отрезке
NL и
NO :
OL = (
+
) : (1 +
) =
. Точка
O лежит на отрезке
KM и
KO :
OM = (
+
) : (1 +
) =
. Поэтому
O —
точка пересечения отрезков
KM и
LN, т. е.
O =
P
и
NP :
PL =
NO :
OL =
,
KP :
PM =
.
Источники и прецеденты использования
