Задача 57755

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство p + q = 1, где p и q — данные положительные числа.

Решение

Поместим в вершины A, B и C массы p, 1 и q соответственно. Пусть O — центр масс этой системы точек. Будем рассматривать точку с массой 1 как две совпадающие точки с массами x_a и x_c, где x_a + x_c = 1. Пусть K — центр масс точек A и B с массами p и x_a, a L — центр масс точек C и B с массами q и x_c. Тогда AK : KB = x_a : p, CL : LB = x_c : q, а точка O, являющаяся центром масс точек K и L с массами p + x_a и q + x_c, лежит на прямой KL. Изменяя x_a от 0 до 1, мы получим все прямые, проходящие через точку O и пересекающие стороны AB и BC. Поэтому для всех этих прямых выполняется равенство + = x_a + x_c = 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.009