Условие
Три мухи равной массы ползают по сторонам
треугольника так, что их центр масс остается на месте.
Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан
треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла
по всей границе треугольника.
Решение
Обозначим центр масс мух через O. Пусть одна муха
находится в вершине A, а A1 — центр масс двух других мух. Ясно,
что точка A1 лежит внутри треугольника ABC, а точка O лежит
на отрезке AA1 и делит его в отношении
AO : OA1 = 2 : 1.
Поэтому точка O лежит внутри треугольника, полученного из треугольника
ABC гомотетией с коэффициентом 2/3 и центром A. Рассматривая
такие треугольники для всех трех вершин, получаем, что единственной
их общей точкой является точка пересечения медиан треугольника
ABC. Так как одна муха побывала во всех трех вершинах, а точка O
при этом оставалась на месте, точка O должна принадлежать
всем трем этим треугольникам, т. е. O совпадает с точкой пересечения
медиан треугольника ABC.
Источники и прецеденты использования
