Информация о задаче

Задача 57757

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые CC₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а) ${\frac{CO}{OC_1}}$ = ${\frac{CA_1}{A_1B}}$ + ${\frac{CB_1}{B_1A}}$ ;
б) ${\frac{AO}{OA_1}}$ ^. ${\frac{BO}{OB_1}}$ ^. ${\frac{CO}{OC_1}}$ = ${\frac{AO}{OA_1}}$ + ${\frac{BO}{OB_1}}$ + ${\frac{CO}{OC_1}}$ + 2 $\ge$ 8.

Решение

а) Пусть AB₁ : B₁C = 1 : p и BA₁ : A₁C = 1 : q. Поместим в точки A, B, C массы p, q, 1 соответственно. Тогда точки A₁ и B₁ являются центрами масс пар точек (B, C) и (A, C). Поэтому центр масс системы точек A, B и C лежит как на отрезке AA₁, так и на отрезке BB₁, т. е. совпадает с точкой O. Следовательно, точка C₁ является центром масс точек A и B. Поэтому CO/OC₁ = p + q = (CB₁/B₁A) + (CA₁/A₁B).
б) Согласно задаче а) ${\frac{AO}{OA_1}}$ ^. ${\frac{BO}{OB_1}}$ ^. ${\frac{CO}{OC_1}}$ = ${\frac{1+q}{p}}$ ^. ${\frac{1+p}{q}}$ ^. ${\frac{p+q}{1}}$ = p + q + (p/q) + (q/p) + (1/p) + (1/q) + 2 = ${\frac{AO}{OA_1}}$ + ${\frac{BO}{OB_1}}$ + ${\frac{CO}{OC_1}}$ + 2. Ясно также, что p + (1/p) $\ge$ 2, q + (1/q) $\ge$ 2 и (p/q) + (q/p) $\ge$ 2.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.011