Задача 57757

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые CC₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а) = + ;
б) ^{. .} = + + + 28.

Решение

а) Пусть AB₁ : B₁C = 1 : p и  BA₁ : A₁C = 1 : q. Поместим в точки A, B, C массы p, q, 1 соответственно. Тогда точки A₁ и B₁ являются центрами масс пар точек (B, C) и (A, C). Поэтому центр масс системы точек A, B и C лежит как на отрезке AA₁, так и на отрезке BB₁, т. е. совпадает с точкой O. Следовательно, точка C₁ является центром масс точек A и B. Поэтому CO/OC₁ = p + q = (CB₁/B₁A) + (CA₁/A₁B).
б) Согласно задаче а) ^{. .} = ^{. .} = p + q + (p/q) + (q/p) + (1/p) + (1/q) + 2 = + + + 2. Ясно также, что p + (1/p)2, q + (1/q)2 и  (p/q) + (q/p)2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.011