Информация о задаче

Задача 57758

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что BA₁/A₁C = CB₁/B₁A = AC₁/C₁B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают.

Решение

Пусть M — центр масс треугольника ABC. Тогда $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{0}$ . Кроме того, $\overrightarrow{AB_1}$ + $\overrightarrow{BC_1}$ + $\overrightarrow{CA_1}$ = k( $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{CB}$ ) = $\overrightarrow{0}$ . Сложив эти равенства, получим $\overrightarrow{MB_1}$ + $\overrightarrow{MC_1}$ + $\overrightarrow{MA_1}$ = $\overrightarrow{0}$ , т. е. M — центр масс треугольника A₁B₁C₁.
Замечание. Аналогичное утверждение точно так же доказывается для произвольного n-угольника.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.012