Задача 57760

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть M₁ — центр масс n - 2 точек, K — середина хорды, соединяющей две оставшиеся точки, O — центр окружности, M — центр масс всех данных точек. Если прямая OM пересекает прямую, проведенную через точку M₁ в точке P, то / = / = (n - 2)/2, а значит, положение точки P однозначно определяется положением точек O и M (если M = O, то P = O).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.013