Условие
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1, причем отрезки AA1, BB1 и CC1
пересекаются в точке P. Пусть
la, lb, lc — прямые,
соединяющие середины отрезков BC и B1C1, CA и C1A1,
AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc
пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM,
где M — центр масс треугольника ABC.
Решение
Пусть P — центр масс точек A, B и C с массами a, b и c,
M — центр масс точек A, B и C с массой a + b + c в каждой точке,
Q — центр масс объединения этих двух систем точек. Середина отрезка
AB является центром масс точек A, B и C с массами
a + b + c - (ab/c),
a + b + c - (ab/c) и 0, а середина отрезка A1B1 является центром масс
точек A, B и C с массами a(b + c)/c, b(a + c)/c и
(b + c) + (a + c).
Центр масс объединения этих систем точек является точкой Q.
Источники и прецеденты использования
