Задача 57762

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке P. Пусть l_a, l_b, l_c — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, AB и A₁B₁. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

Решение

Пусть P — центр масс точек A, B и C с массами a, b и c, M — центр масс точек A, B и C с массой a + b + c в каждой точке, Q — центр масс объединения этих двух систем точек. Середина отрезка AB является центром масс точек A, B и C с массами a + b + c - (ab/c), a + b + c - (ab/c) и 0, а середина отрезка A₁B₁ является центром масс точек A, B и C с массами a(b + c)/c, b(a + c)/c и  (b + c) + (a + c). Центр масс объединения этих систем точек является точкой Q.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.014