Информация о задаче

Задача 57764

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На прямой AB взяты точки P и P₁, а на прямой AC взяты точки Q и Q₁. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P₁Q₁, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}}$ = $\displaystyle {\frac{(\overline{BP}/\overline{PA})-(\overline{BP_1}/ \overline{P_1A})}{(\overline{CQ}/\overline{QA})-(\overline{CQ_1}/\overline{Q_1A})}}$ .

Решение

Точка пересечения прямых PQ и P₁Q₁ является центром масс точек A, B и C с массами a, b и c; при этом P — центр масс точек A и B с массами a - x и b, а Q — центр масс точек A и C с массами x и c. Пусть p = $\overline{BP}$ / $\overline{PA}$ = (a - x)/b и q = $\overline{CQ}$ / $\overline{QA}$ = x/c. Тогда pb + qc = a. Аналогично p₁b + q₁c = a. Следовательно, $\overline{BD}$ / $\overline{CD}$ = - c/b = (p - p₁)/(q - q₁).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	2
Название	Теорема о группировке масс
Тема	Теорема о группировке масс
задача
Номер	14.016