Условие
а) Докажите, что момент инерции относительно
центра масс системы точек с единичными массами равен

aij2, где n — число точек,
aij — расстояние между точками с номерами i и j.
б) Докажите, что момент инерции относительно центра
масс системы точек с массами
m1,..., mn, равен

mimjaij2, где
m = m1 +...+ mn,
aij — расстояние между точками с номерами i и j.
Решение
а) Пусть
xi — вектор с началом в центре масс O и концом
в точке с номером i. Тогда
(xi - xj)2 =
(xi2 + xj2) - 2
(xi,xj), где
суммирование ведется по всем возможным парам номеров точек.
Ясно, что
(xi2 + xj2) = 2n
xi2 = 2nIO и
(xi,xj) =
(xi,
xj) = 0.
Поэтому
2nIO =
(xi - xj)2 = 2
aij2.
б) Пусть
xi — вектор с началом в центре масс O и концом
в точке с номером i. Тогда
mimj(xi - xj)2 =
mimj(xi2 + xj2) - 2
mimj(xi,xj). Ясно, что
mimj(xi2 + xj2) =
mi
(mjxi2 + mjxj2) =
mi(mxi2 + IO) = 2mIO
и
mimj(xi,xj) =
mi(xi,
mjxj) = 0. Поэтому
2mIO =
mimj(xi - xj)2 = 2
mimjaij2.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
14 |
Название |
Центр масс |
Тема |
Центр масс |
параграф |
Номер |
3 |
Название |
Момент инерции |
Тема |
Момент инерции |
задача |
Номер |
14.018 |