Задача 57772

Тема:    [ Момент инерции ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть d_a, d_b и d_c — расстояния от точки P до сторон треугольника, R_a, R_b и R_c — расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(d_a² + d_b² + d_c²)(R_asin A)² + (R_bsin B)² + (R_csin C)².

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки P на стороны BC, CA и AB; M — центр масс треугольника A₁B₁C₁. Тогда 3(d_a² + d_b² + d_c²) = 3I_P3I_M = A₁B₁² + B₁C₁² + C₁A₁² = (R_csin C)² + (R_asin A)² + (R_bsin B)², так как, например, отрезок A₁B₁ является хордой окружности с диаметром CP.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.024