ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57799
Тема:    [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Решение

Точка C1 имеет трилинейные координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right):
\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right):
\mp\sin\frac{\pi}{3}}\right.$sin$\displaystyle \left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \beta$±$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : sin$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \alpha$±$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : $\displaystyle \mp$sin$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right):
\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right):
\mp\sin\frac{\pi}{3}}\right)$,

где верхний знак соответствует треугольникам, построенным внешним образом, а нижний — внутренним. Поэтому прямая CC1 задается уравнением x sin$ \left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$ \alpha$±$ {\frac{\pi}{3}}$$ \left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ = y sin$ \left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$ \beta$±$ {\frac{\pi}{3}}$$ \left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$. Таким образом, точка с трилинейными координатами

$\displaystyle \left(\vphantom{
\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right...
...c{\pi}{3}\right)}:
\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}
}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{
\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right...
...c{\pi}{3}\right)}:
\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}
}\right)$

является точкой пересечения прямых AA1, BB1 и CC1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 14
Название Центр масс
Тема Центр масс
параграф
Номер 6
Название Трилинейные координаты
Тема Трилинейные координаты
задача
Номер 14.044B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .