Информация о задаче

Задача 57799

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Решение

Точка C₁ имеет трилинейные координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right): \sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right): \mp\sin\frac{\pi}{3}}\right.$ sin $\displaystyle \left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$ $\displaystyle \beta$ ± $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : sin $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$ $\displaystyle \alpha$ ± $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : $\displaystyle \mp$ sin $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right): \sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right): \mp\sin\frac{\pi}{3}}\right)$ ,

где верхний знак соответствует треугольникам, построенным внешним образом, а нижний — внутренним. Поэтому прямая CC₁ задается уравнением x sin $\left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$ $\alpha$ ± ${\frac{\pi}{3}}$ $\left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ = y sin $\left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$ $\beta$ ± ${\frac{\pi}{3}}$ $\left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ . Таким образом, точка с трилинейными координатами

$\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right... ...c{\pi}{3}\right)}: \frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)} }\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right... ...c{\pi}{3}\right)}: \frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)} }\right)$

является точкой пересечения прямых AA₁, BB₁ и CC₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.044B