Информация о задаче

Задача 57801

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите уравнение окружности девяти точек в трилинейных координатах.

Решение

Окружность девяти точек задается в трилинейных координатах уравнением

x²sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \alpha$ + y²sin $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \beta$ + z²sin $\displaystyle \gamma$ cos $\displaystyle \gamma$ = yz sin $\displaystyle \alpha$ + xz sin $\displaystyle \beta$ + xy sin $\displaystyle \gamma$ .

Чтобы доказать это, достаточно проверить, что кривая, заданная этим уравнением, пересекает каждую сторону треугольника в середине стороны и в основании высоты. (Кривая второй степени задается пятью точками, а у нас получается целых шесть точек.) Середина стороны BC имеет трилинейные координаты (0 : sin $\gamma$ : sin $\beta$ ), а основание высоты, опущенной на эту сторону, имеет трилинейные координаты (0 : cos $\gamma$ : cos $\beta$ ). Легко проверить, что обе эти точки лежат на данной кривой.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.043