Информация о задаче

Задача 57806

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) — абсолютные трилинейные координаты точек M и N. Докажите, что

MN² = $\displaystyle {\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}}$ (x₁ - x₂)² + $\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin\gamma\sin\alpha}}$ (y₁ - y₂)² + $\displaystyle {\frac{\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}}$ (z₁ - z₂)².

Решение

Введем прямоугольную систему координат Ouv, направив ось u по лучу BC и выбрав направление оси v так, чтобы точка A имела положительную координату v. Тогда прямоугольные координаты (u, v) и трилинейные координаты (x, y, z) связаны следующим образом: v = x и u = ${\frac{x\cos\beta+z}{\sin\beta}}$ . Ясно также, что xa + yb + zc = 2S, т.е. y = ${\frac{2S-xa-zc}{b}}$ . Пусть (u₁, v₁) и (u₂, v₂) — кординаты точек M и N. Тогда

MN²	= (u₁ - u₂)² + (v₁ - v₂)² =
	= (x₁ - x₂)² $\displaystyle {\frac{\cos^2\beta}{\sin^2\beta}}$ + 2(x₁ - x₂)(z₁ - z₂) $\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin^2\beta}}$ + $\displaystyle {\frac{(z_1-z_2)^2}{\sin^2\beta}}$ + (x₁ - x₂)² =
	= $\displaystyle {\frac{(x_1-x_2)^2}{\sin^2\beta}}$ + $\displaystyle {\frac{(z_1-z_2)^2}{\sin^2\beta}}$ + 2(x₁ - x₂)(z₁ - z₂) $\displaystyle {\frac{\cos\beta}{\sin^2\beta}}$ .

Если воспользоваться тем, что (y₁ - y₂)² = $\left(\vphantom{(x_1-x_2)\frac{a}{b}+(z_1-z_2)\frac{z}{b}}\right.$ (x₁ - x₂) ${\frac{a}{b}}$ + (z₁ - z₂) ${\frac{z}{b}}$ $\left.\vphantom{(x_1-x_2)\frac{a}{b}+(z_1-z_2)\frac{z}{b}}\right)^{2}_{}$ , то требуемое равенство можно преобразовать в полученное равенство; по ходу преобразований нужно воспользоваться тем, что a/b = sin $\alpha$ /sin $\beta$ и $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.051