Условие
Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная
внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до
пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до
пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения
с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов
траектория движения точки замкнется.
Решение
Обозначим последовательные точки траектории на сторонах
треугольника через A1, B1, B2, C2, C3, A3, A4
B4,... (рис.). Так как
A1B1| AB2,
B1B2| CA1
и
B1C| B2C2, то треугольник AB2C2 получается
из треугольника A1B1C параллельным переносом. Аналогично
треугольник A3BC3 получен параллельным переносом из треугольника
AB2C2, а треугольник A4B4C — из треугольника A3BC3.
Но треугольник A1B1C тоже получен из треугольника A3BC3
параллельным переносом. Поэтому A1 = A4, т. е. после семи шагов
траектория замкнется (возможно, что она замкнется и раньше).
Источники и прецеденты использования
