Задача 57812

Тема:    [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

Решение

Обозначим последовательные точки траектории на сторонах треугольника через A₁, B₁, B₂, C₂, C₃, A₃, A₄ B₄,... (рис.). Так как A₁B₁| AB₂, B₁B₂| CA₁ и  B₁C| B₂C₂, то треугольник AB₂C₂ получается из треугольника A₁B₁C параллельным переносом. Аналогично треугольник A₃BC₃ получен параллельным переносом из треугольника AB₂C₂, а треугольник A₄B₄C — из треугольника A₃BC₃. Но треугольник A₁B₁C тоже получен из треугольника A₃BC₃ параллельным переносом. Поэтому A₁ = A₄, т. е. после семи шагов траектория замкнется (возможно, что она замкнется и раньше).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	7
Год	1941
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	3
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	1
Название	Перенос помогает решить задачу
Тема	Перенос помогает решить задачу
задача
Номер	15.002