Условие
Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD
и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что
KM
(BC + AD)/2, причем равенство
достигается, только если BC| AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD
найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.
Решение
а) Достроим треугольник CBD до параллелограмма CBDE.
Тогда
2KM = AEAD + DE = AD + BC, причем равенство достигается,
только если AD| BC.
б) Пусть a = AB, b = BC, c = CD и d = DA. Если
| a - c| = | b - d|
0,
то согласно задаче а) максимум достигается в вырожденном случае,
когда все точки A, B, C и D окажутся на одной прямой.
Предположим теперь, например, что
| a - c| < | b - d|. Достроим
треугольники ABL и LCD до параллелограммов ABLP и LCDQ. Тогда
PQ
| b - d|, а значит,
LN2 = (2LP2 + 2LQ2 - PQ2)/4(2(a2 + c2) - (b - d )2)/4. Кроме того, согласно задаче a)
KM(b + d )/2. Оба
равенства достигаются, когда ABCD — трапеция с основаниями AD
и BC.
Построим окружность S, касающуюся стороны AB и лучей BC
и AD, и перенесем треугольник CND параллельно (в направлении
оснований BC и AD) так, чтобы точка N' совпала с точкой M,
т. е. сторона C'D' касалась окружности S (рис.).
Источники и прецеденты использования
