Задача 57820

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Даны две окружности S₁, S₂ и прямая l. Проведите прямую l₁, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l₁ с окружностями S₁ и S₂ имело заданную величину a;
б) S₁ и S₂ высекали на l₁ равные хорды;
в) S₁ и S₂ высекали на l₁ хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

Решение

а) Пусть S₁' — образ окружности S₁ при параллельном переносе на вектор длиной a, параллельный прямой l (таких векторов два). Искомая прямая проходит через точку пересечения окружностей S₁' и S₂.
б) Пусть O₁ и O₂ — проекции центров окружностей S₁ и S₂ на прямую l; S₁' — образ окружности S₁ при параллельном переносе на вектор . Искомая прямая проходит через точку пересечения окружностей S₁' и S₂.
в) Пусть S₁' — образ окружности S₁ при параллельном переносе на некоторый вектор, параллельный прямой l. Тогда длины хорд, высекаемых прямой l₁ на окружностях S₁ и S₁', равны. А если расстояние между проекциями центров окружностей S₁' и S₂ на прямую l равно a/2, то сумма или разность длин хорд, высекаемых прямой, параллельной прямой l и проходящей через точку пересечения окружностей S₁' и S₂, равна a. Требуемая окружность S₁' легко строится.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	2
Название	Построения и геометрические места точек
Тема	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек
задача
Номер	15.008