Задача 57982

Тема:    [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.

Решение

При гомотетии с центром M и коэффициентом -2 прямые PA₁, PB₁ и PC₁ переходят в прямые l_a, l_b и l_c, а значит, искомая точка Q является образом точки P при этой гомотетии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	1
Название	Гомотетичные многоугольники
Тема	Гомотетичные многоугольники
задача
Номер	19.004