Условие
Окружность
S касается равных сторон
AB и
BC
равнобедренного треугольника
ABC в точках
P и
K, а также
касается внутренним образом описанной окружности треугольника
ABC.
Докажите, что середина отрезка
PK является
центром вписанной окружности треугольника
ABC.
Решение
Рассмотрим гомотетию
HBk с центром
B, переводящую
отрезок
AC в отрезок
A'C', касающийся описанной окружности
треугольника
ABC. Обозначим середины отрезков
PK и
A'C' через
O1
и
D, центр окружности
S — через
O.
Окружность
S является вписанной окружностью треугольника
A'BC',
поэтому достаточно доказать, что при гомотетии
HBk точка
O1
переходит в
O. Для этого достаточно проверить, что
BO1 :
BO =
BA :
BA'. Это равенство следует из того, что
PO1 и
DA — высоты подобных прямоугольных треугольников
BPO и
BDA'.
Источники и прецеденты использования
