Условие
Окружность S касается равных сторон AB и BC
равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также
касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC.
Докажите, что середина отрезка PK является
центром вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
Рассмотрим гомотетию HBk с центром B, переводящую
отрезок AC в отрезок A'C', касающийся описанной окружности
треугольника ABC. Обозначим середины отрезков PK и A'C' через O1
и D, центр окружности S — через O.
Окружность S является вписанной окружностью треугольника A'BC',
поэтому достаточно доказать, что при гомотетии HBk точка O1
переходит в O. Для этого достаточно проверить, что
BO1 : BO = BA : BA'. Это равенство следует из того, что PO1 и DA — высоты подобных прямоугольных треугольников BPO и BDA'.
Источники и прецеденты использования
