ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57983
Тема:    [ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

Рассмотрим гомотетию HBk с центром B, переводящую отрезок AC в отрезок A'C', касающийся описанной окружности треугольника ABC. Обозначим середины отрезков PK и A'C' через O1 и D, центр окружности S — через O.
Окружность S является вписанной окружностью треугольника A'BC', поэтому достаточно доказать, что при гомотетии HBk точка O1 переходит в O. Для этого достаточно проверить, что BO1 : BO = BA : BA'. Это равенство следует из того, что PO1 и DA — высоты подобных прямоугольных треугольников BPO и BDA'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 19
Название Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер 1
Название Гомотетичные многоугольники
Тема Гомотетичные многоугольники
задача
Номер 19.005

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .