ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57985
Тема:    [ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R$ \ge$2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Решение

Пусть A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом гомотетии -1/2 описанная окружность S треугольника ABC переходит в описанную окружность S1 треугольника A1B1C1. Так как окружность S1 пересекает все стороны треугольника ABC, то можно построить треугольник A'B'C' со сторонами, параллельными сторонам треугольника ABC, для которого S1 будет вписанной окружностью (рис.). Пусть r и r' — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и A'B'C'; R и R1 — радиусы окружностей S и S1. Ясно, что r$ \le$r' = R1 = R/2. Равенство достигается, если треугольники A'B'C' и ABC совпадают, т. е. S1 — вписанная окружность треугольника ABC. В этом случае AB1 = AC1, поэтому AB = AC. Аналогично AB = BC.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 19
Название Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер 1
Название Гомотетичные многоугольники
Тема Гомотетичные многоугольники
задача
Номер 19.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .