Условие
а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC
в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM
пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры
AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены
касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E
и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую
AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.
Решение
а) При гомотетии с центром B, переводящей вписанную
окружность во вневписанную окружность, касающуюся стороны AC,
точка M переходит в некоторую точку M'. Точка M' является
концом диаметра, перпендикулярного прямой AC, поэтому M'
является точкой касания вписанной окружности со стороной AC,
а значит, и точкой пересечения прямой BM со стороной AC.
Поэтому K = M' и точка K является точкой касания вневписанной
окружности со стороной AC. Теперь легко вычислить, что
AK = (a + b - c)/2 = CD, где a, b и c — длины сторон треугольника ABC.
б) Рассмотрим гомотетию с центром M, переводящую прямую EH в прямую, касающуюся данной окружности. При этой гомотетии
точки E, F, K и H переходят в точки E', F', K' и H'.
Согласно задаче a) E'F' = K'H', поэтому EF = KH.
Источники и прецеденты использования
