Условие
Окружности
,
и
имеют одинаковые радиусы
и касаются сторон углов
A,
B и
C треугольника
ABC
соответственно. Окружность
касается внешним образом
всех трех окружностей
,
и
. Докажите, что центр
окружности
лежит на прямой, проходящей через центры
вписанной и описанной окружностей треугольника
ABC.
Решение
Пусть
O
,
O
,
O
и
O
— центры окружностей
,
,
и
;
O1 и
O2 — центры вписанной и описанной
окружностей треугольника
ABC. Треугольник
OOO
переходит в треугольник
ABC при гомотетии с центром
O1. При этой
гомотетии точка
O2 переходит в центр описанной окружности
треугольника
OOO, совпадающий с точкой
O.
Поэтому точки
O1,
O2 и
O лежат на одной прямой.
Источники и прецеденты использования
