Задача 57992

Тема:    [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей, касающихся сторон треугольника, O — центр окружности, касающейся этих окружностей, O₁ и O₂ — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются биссектрисами треугольника ABC, поэтому они пересекаются в точке O₁. Следовательно, треугольник A₁B₁C₁ переходит в треугольник ABC при гомотетии с центром O₁, причем коэффициент гомотетии равен отношению расстояний от точки O₁ до сторон треугольников ABC и A₁B₁C₁, т. е. равен (r - )/r. При этой гомотетии описанная окружность треугольника ABC переходит в описанную окружность треугольника A₁B₁C₁. Так как OA₁ = OB₁ = OC₁ = 2, радиус описанной окружности треугольника A₁B₁C₁ равен 2. Следовательно, R(r - )/r = 2, т. е. = rR/(2r + R).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	2
Название	Гомотетичные окружности
Тема	Гомотетичные окружности
задача
Номер	19.014