Условие
Дан треугольник
ABC. Построены четыре окружности равного радиуса
так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех
касается двух сторон треугольника. Найдите
, если радиусы вписанной
и описанной окружностей треугольника равны
r и
R соответственно.
Решение
Пусть
A1,
B1 и
C1 — центры данных окружностей, касающихся
сторон треугольника,
O — центр окружности, касающейся
этих окружностей,
O1 и
O2 — центры вписанной и описанной
окружностей треугольника
ABC. Прямые
AA1,
BB1 и
CC1 являются
биссектрисами треугольника
ABC, поэтому они пересекаются в точке
O1.
Следовательно, треугольник
A1B1C1 переходит в треугольник
ABC при гомотетии с центром
O1, причем коэффициент гомотетии
равен отношению расстояний от точки
O1 до сторон треугольников
ABC и
A1B1C1, т. е. равен
(
r -
)/
r. При этой гомотетии
описанная окружность треугольника
ABC переходит в описанную окружность
треугольника
A1B1C1. Так как
OA1 =
OB1 =
OC1 = 2
, радиус
описанной окружности треугольника
A1B1C1 равен 2
.
Следовательно,
R(
r -
)/
r = 2
, т. е.
=
rR/(2
r +
R).
Источники и прецеденты использования
