Условие
В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся
описанной окружности. Пусть A1, B1 и C1 — точки
касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть X — центр гомотетии (с положительным коэффициентом),
переводящей вписанную окружность треугольника ABC в описанную
окружность. Прямая AX пересекает вписанную окружность в точках
A' и A'', одна из которых (для определенности A'') при
указанной гомотетии переходит в точку A, а другая — в
некоторую точку A2, лежащую на описанной окружности.
Рассмотрим гомотетию с центром A, переводящую A' в A2.
При этой гомотетии центр вписанной окружности переходит в точку,
лежащую на отрезке OA2. Это означает, что вписанная
окружность переходит в окружность, касающуюся описанной
окружности в точке A2. Следовательно, A2 = A1. Поэтому
прямые AA1, BB1 и CC1 проходят через точку X.
Источники и прецеденты использования
