Задача 58028

Тема:    [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Пусть H₁ и H₂ — две поворотные гомотетии. Докажите, что H₁oH₂ = H₂oH₁ тогда и только тогда, когда центры этих поворотных гомотетий совпадают.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры поворотных гомотетий H₁ и H₂. Ясно, что если O₁ и O₂ совпадают, то H₁oH₂ = H₂oH₁. Предположим теперь, что H₁oH₂ = H₂oH₁. Тогда, в частности, H₁oH₂(O₁) = H₂oH₁(O₁) = H₂(O₁). Поэтому H₂(O₁) — центр поворотной гомотетии H₁, т.е. H₂(O₁) = O₁. Но тогда O₁ — центр поворотной гомотетии H₂, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	7
Название	Композиции поворотных гомотетий
Тема	Композиции гомотетий
задача
Номер	19.049B