Задача 58029

Тема:    [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Пусть H₁ и H₂ — две поворотные гомотетии. Докажите, что H₁oH₂ = H₂oH₁ тогда и только тогда, когда H₁oH₂(A) = H₂oH₁(A) для некоторой точки A.

Решение

Достаточно доказать, что если H₁oH₂(A) = H₂oH₁(A), то H₁oH₂ = H₂oH₁. Рассмотрим преобразование (H₁oH₂)^-1oH₂oH₁. Это преобразование является параллельным переносом (произведение коэффициентов гомотетии равно 1, а сумма углов поворотов равна 0). Кроме того, это преобразование имеет неподвижную точку A. Параллельный перенос, имеющий неподвижную точку, является тождественным преобразованием. Следовательно, H₁oH₂ = H₂oH₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	7
Название	Композиции поворотных гомотетий
Тема	Композиции гомотетий
задача
Номер	19.049B1