Информация о задаче

Задача 58052

Тема:

[

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Условие

а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/ $\sqrt{3}$ .
б) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если длины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ не превосходят 1, то площадь треугольника ABC не превосходит 1/ $\sqrt{3}$ .

Решение

а) Пусть для определенности $\alpha$ — наименьший угол треугольника ABC; AD — биссектриса. Одна из сторон AB и AC не превосходит AD/cos( $\alpha$ /2), так как иначе отрезок BC не проходит через точку D. Пусть для определенности AB $\le$ AD/cos( $\alpha$ /2) $\le$ AD/cos 30^o $\le$ 2/ $\sqrt{3}$ . Тогда S_ABC = h_cAB/2 $\le$ l_cAB/2 $\le$ 1/ $\sqrt{3}$ .
б) Предположим сначала, что треугольник ABC не остроугольный, например, $\angle$ A $\ge$ 90^o. Тогда AB $\le$ BB₁ $\le$ 1. Ясно также, что h_c $\le$ CC₁ $\le$ 1. Поэтому S_ABC $\le$ 1/2 < 1/ $\sqrt{3}$ .
Предположим теперь, что треугольник ABC остроугольный. Пусть $\angle$ A — наименьший из его углов. Тогда $\angle$ A $\le$ 60^o, поэтому высота h_a делит угол A на два угла, один из которых не превосходит 30^o. Если этот угол прилегает к стороне AB, то AB $\le$ h_a/cos 30^o $\le$ 2/ $\sqrt{3}$ . Учитывая, что h_c $\le$ 1, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	1
Название	Наименьший или наибольший угол
Тема	Наименьший или наибольший угол
задача
Номер	20.007