Условие
На столе расположено
n картонных и
n пластмассовых квадратов,
причем никакие два картонных и никакие два пластмассовых квадрата не
имеют общих точек, в том числе и точек границы. Оказалось, что
множество вершин картонных квадратов совпадает с множеством вершин
пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждый картонный
квадрат совпадает с некоторым пластмассовым?
Решение
Предположим, что есть картонные квадраты, не совпадающие с пластмассовыми. Выбросим из рассмотрения все совпадающие квадраты и рассмотрим выпуклую оболочку вершин оставшихся квадратов. Пусть
A —
вершина этой выпуклой оболочки. Тогда
A является вершиной двух
разных квадратов — картонного и пластмассового. Легко проверить,
что одна из вершин меньшего из этих квадратов лежит внутри большего
(рис.). Пусть для определенности вершина
B картонного квадрата
лежит внутри пластмассового. Тогда точка
B лежит внутри пластмассового
квадрата и является вершиной другого пластмассового квадрата, чего
не может быть. Получено противоречие, поэтому каждый картонный
квадрат совпадает с некоторым пластмассовым.
Источники и прецеденты использования
