Задача 58072

Тема:    [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

На плоскости дано n4 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что если для любых трех из них найдется четвертая (тоже из данных), с которой они образуют вершины параллелограмма, то n = 4.

Решение

Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Возможны два случая.
1. Выпуклая оболочка является параллелограммом ABCD. Если точка M лежит внутри параллелограмма ABCD, то вершины всех трех параллелограммов с вершинами A, B и M лежат вне ABCD (рис.). Значит, в этом случае, кроме точек A, B, C и D, никаких других точек быть не может.

2. Выпуклая оболочка не является параллелограммом. Пусть AB и BC — стороны выпуклой оболочки. Проведем опорные прямые, параллельные AB и BC. Пусть эти опорные прямые проходят через вершины P и Q. Тогда вершины всех трех параллелограммов с вершинами B, P и Q лежат вне выпуклой оболочки (рис.). Они даже лежат вне параллелограмма, образованного опорными прямыми, кроме того случая, когда P и Q являются вершинами этого параллелограмма. В этом случае его четвертая вершина не принадлежит выпуклой оболочке, так как та не является параллелограммом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	5
Название	Выпуклая оболочка и опорные прямые
Тема	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)
задача
Номер	20.026