ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Докажите, что первые цифры чисел вида 22n образуют непериодическую последовательность. РешениеЗначение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. |
Задача 58076
УсловиеНа плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.РешениеВозможны два варианта расположения четырех точек.1. Точки являются вершинами выпуклого четырехугольника ABCD. Выберем наибольший из углов при его вершинах. Пусть это будет угол ABC. Тогда ABC90o, т. е. треугольник ABC не остроугольный. 2. Точка D лежит внутри треугольника ABC. Выберем наибольший из углов ADB, BDC и ADC. Пусть это будет угол ADB. Тогда ADB120o, т. е. треугольник ADB тупоугольный. Доказать, что других вариантов расположения четырех точек нет, можно следующим образом. Прямые, проходящие через три из данных точек, делят плоскость на семь частей (рис.). Если четвертая данная точка лежит во второй, четвертой или шестой частях, то имеет место первая ситуация, а если в первой, третьей, пятой или седьмой, то вторая. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|