Задача 58076

Тема:    [ Наименьший или наибольший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.

Решение

Возможны два варианта расположения четырех точек.
1. Точки являются вершинами выпуклого четырехугольника ABCD. Выберем наибольший из углов при его вершинах. Пусть это будет угол ABC. Тогда ABC90^o, т. е. треугольник ABC не остроугольный.
2. Точка D лежит внутри треугольника ABC. Выберем наибольший из углов ADB, BDC и ADC. Пусть это будет угол ADB. Тогда ADB120^o, т. е. треугольник ADB тупоугольный.
Доказать, что других вариантов расположения четырех точек нет, можно следующим образом. Прямые, проходящие через три из данных точек, делят плоскость на семь частей (рис.). Если четвертая данная точка лежит во второй, четвертой или шестой частях, то имеет место первая ситуация, а если в первой, третьей, пятой или седьмой, то вторая.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Принцип крайнего (прочее)
задача
Номер	20.029