Условие
На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины
каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m),
(n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа
(свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников
можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.
Решение
У прямоугольника с вершинами в точках (0, 0), (0, m), (n, 0)
и (n, m) горизонтальная сторона равна n, а вертикальная равна m.
Выберем из данного множества прямоугольник с наименьшей
горизонтальной стороной. Пусть его вертикальная сторона равна m1.
Рассмотрим любые m1 из оставшихся прямоугольников. Возможны два случая.
1. Вертикальные стороны двух из этих m1 прямоугольников
равны. Тогда один из них содержится в другом.
2. Вертикальные стороны всех этих прямоугольников различны. Тогда
вертикальная сторона одного из них больше m1, поэтому он содержит
прямоугольник с наименьшей горизонтальной стороной.
Источники и прецеденты использования
