Задача 58077

Тема:    [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.

Решение

У прямоугольника с вершинами в точках (0, 0), (0, m), (n, 0) и (n, m) горизонтальная сторона равна n, а вертикальная равна m. Выберем из данного множества прямоугольник с наименьшей горизонтальной стороной. Пусть его вертикальная сторона равна m₁. Рассмотрим любые m₁ из оставшихся прямоугольников. Возможны два случая.
1. Вертикальные стороны двух из этих m₁ прямоугольников равны. Тогда один из них содержится в другом.
2. Вертикальные стороны всех этих прямоугольников различны. Тогда вертикальная сторона одного из них больше m₁, поэтому он содержит прямоугольник с наименьшей горизонтальной стороной.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Принцип крайнего (прочее)
задача
Номер	20.030