Задача 58079

Тема:    [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Дан выпуклый многоугольник A₁...A_n. Докажите, что описанная окружность некоторого треугольника A_iA_{i + 1}A_{i + 2} содержит весь многоугольник.

Решение

Рассмотрим все окружности, проходящие через две соседние вершины A_i и A_{i + 1} и такую вершину A_j, что A_iA_jA_{i + 1} < 90^o. Хотя бы одна такая окружность есть. В самом деле, один из углов A_iA_{i + 2}A_{i + 1} и  A_{i + 1}A_iA_{i + 2} меньше 90^o; в первом случае положим A_j = A_{i + 2}, а во втором A_j = A_i. Выберем среди всех таких окружностей (для всех i и j) окружность S наибольшего радиуса; пусть для определенности она проходит через точки A₁, A₂ и A_k.
Предположим, что вершина A_p лежит вне окружности S. Тогда точки A_p и A_k лежат по одну сторону от прямой A₁A₂ и  A₁A_pA₂ < A₁A_kA₂ < 90^o. Из теоремы синусов следует, что радиус описанной окружности у треугольника A₁A_pA₂ больше, чем у треугольника A₁A_kA₂. Получено противоречие, поэтому окружность S содержит весь многоугольник A₁...A_n.
Пусть для определенности A₂A₁A_kA₁A₂A_k. Докажем, что тогда A₂ и A_k — соседние вершины. Если A_kA₃, то 180^o - A₂A₃A_kA₂A₁A_k < 90^o, поэтому радиус описанной окружности у треугольника A₂A₃A_k больше, чем у треугольника A₁A₂A_k. Получено противоречие, поэтому окружность S проходит через соседние вершины A₁, A₂ и A₃.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Принцип крайнего (прочее)
задача
Номер	20.031