Условие
На плоскости дано
n точек, причем любые четыре
из них являются вершинами выпуклого четырехугольника.
Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого
n-угольника.
Решение
Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Она является
выпуклым многоугольником. Нужно доказать, что все данные
точки — его вершины. Предположим, что одна из данных точек
(точка
A) не является вершиной, т. е. лежит внутри или на стороне
этого многоугольника. Диагоналями, выходящими из одной вершины,
выпуклую оболочку можно разрезать на треугольники; точка
A
принадлежит одному из них. Вершины этого треугольника и точка
A
не могут быть вершинами выпуклого четырехугольника. Получено
противоречие.
Источники и прецеденты использования
