Условие
На плоскости дано пять точек, причем никакие три из
них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих
точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.
Решение
Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Если она
является четырех- или пятиугольником, то все ясно. Допустим
теперь, что выпуклая оболочка является треугольником
ABC,
а точки
D и
E лежат внутри его. Точка
E лежит внутри
одного из треугольников
ABD,
BCD,
CAD; пусть для
определенности она лежит внутри треугольника
ABD. Обозначим
точку пересечения
прямых
CD и
AB через
H. Точка
E лежит
внутри одного из треугольников
ADH и
BDH. Если, например,
E
лежит внутри треугольника
ADH, то
AEDC — выпуклый
четырехугольник (рис.).
Источники и прецеденты использования
