Задача 58111

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.

Решение

Рассмотрим выпуклую оболочку данных точек. Если она является четырех- или пятиугольником, то все ясно. Допустим теперь, что выпуклая оболочка является треугольником ABC, а точки D и E лежат внутри его. Точка E лежит внутри одного из треугольников ABD, BCD, CAD; пусть для определенности она лежит внутри треугольника ABD. Обозначим точку пересечения прямых CD и AB через H. Точка E лежит внутри одного из треугольников ADH и BDH. Если, например, E лежит внутри треугольника ADH, то AEDC — выпуклый четырехугольник (рис.).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	1
Название	Выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	22.002