Информация о задаче

Задача 58113

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано несколько правильных n-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.

Решение

Пусть выпуклая оболочка вершин данных n-угольников является m-угольником и $\varphi_{1}^{}$ ,..., $\varphi_{m}^{}$ — его углы. Так как к каждому углу выпуклой оболочки прилегает угол правильного n-угольника, то $\varphi_{i}^{}$ $\ge$ (1 - (2/n)) $\pi$ (справа стоит величина угла правильного n-угольника). Поэтому $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{m}^{}$ $\ge$ m(1 - (2/n)) $\pi$ = (m - (2m/n)) $\pi$ . С другой стороны, $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{m}^{}$ = (m - 2) $\pi$ . Следовательно, (m - 2) $\pi$ $\ge$ (m - (2m/n)) $\pi$ , т. е. m $\ge$ n.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	1
Название	Выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	22.003