Условие
Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый
100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е.
общей части) n треугольников, найдите наименьшее.
Решение
Заметим сначала, что 50 треугольников достаточно. В самом
деле, пусть 
— треугольник, стороны которого лежат на лучах
AkAk - 1 и
AkAk + 1 и который содержит выпуклый многоугольник
A1...A100. Тогда этот многоугольник является пересечением
треугольников 
,
,...,
. С другой стороны,
100-угольник, изображенный на рис.,
нельзя представить в виде
пересечения менее чем 50 треугольников. В самом деле, если три его
стороны лежат на сторонах одного треугольника, то одна из этих сторон — сторона A1A2. Все стороны этого многоугольника лежат на
сторонах n треугольников, поэтому
2n + 1
100, т. е. n50.
Источники и прецеденты использования
