Задача 58116

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Выпуклый многоугольник A₁...A_n лежит внутри окружности S₁, а выпуклый многоугольник B₁...B_m — внутри S₂. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек A₁, ..., A_n лежит внутри S₂ или одна из точек B₁, ..., B_m лежит внутри S₁.

Решение

Предположим, что точки A₁, ..., A_n лежат вне S₂, а точки B₁, ..., B_m лежат вне S₁. Тогда окружность S₁ не может лежать внутри S₂, а окружность S₂ — внутри S₁. Окружности S₁ и S₂ не могут также быть расположены вне друг друга (или касаться внешним образом), поскольку иначе многоугольники A₁...A_n и B₁...B_m не могли бы пересекаться. Таким образом, окружности S₁ и S₂ пересекаются. При этом многоугольник A₁...A_n лежит внутри S₁ и вне S₂, а многоугольник B₁...B_m — внутри S₂ и вне S₁. Следовательно, эти многоугольники расположены по разные стороны от прямой, проходящей через точки пересечения окружностей S₁ и S₂. Но тогда они не могут пересекаться. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	1
Название	Выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	22.005B