Условие
Выпуклый многоугольник
A1...An лежит внутри окружности S1, а выпуклый
многоугольник
B1...Bm — внутри S2. Докажите, что если эти
многоугольники пересекаются, то одна из точек A1, ..., An лежит внутри
S2 или одна из точек B1, ..., Bm лежит внутри S1.
Решение
Предположим, что точки A1, ..., An лежат вне S2, а точки
B1, ..., Bm лежат вне S1. Тогда окружность S1 не может лежать
внутри S2, а окружность S2 — внутри S1. Окружности S1 и S2 не
могут также быть расположены вне друг друга (или касаться внешним образом),
поскольку иначе многоугольники
A1...An и
B1...Bm не могли бы
пересекаться. Таким образом, окружности S1 и S2 пересекаются. При этом
многоугольник
A1...An лежит внутри S1 и вне S2, а многоугольник
B1...Bm — внутри S2 и вне S1. Следовательно, эти многоугольники
расположены по разные стороны от прямой, проходящей через точки пересечения
окружностей S1 и S2. Но тогда они не могут пересекаться. Приходим к
противоречию.
Источники и прецеденты использования
