Условие
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике,
кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при
продолжении которых образуется треугольник, объемлющий
данный многоугольник.
Решение
Если многоугольник не треугольник и не параллелограмм,
то у него найдутся две непараллельные несоседние стороны. Продолжив
их до пересечения, получим новый многоугольник, содержащий
исходный и имеющий меньшее число сторон. После нескольких таких операций
получим треугольник или параллелограмм. Если получится треугольник, то
все доказано; поэтому будем считать, что получился параллелограмм
ABCD.
На каждой его стороне лежит сторона исходного многоугольника, и одна из
его вершин, например
A, не принадлежит исходному многоугольнику
(рис.). Пусть
K — ближайшая к
A вершина многоугольника,
лежащая на
AD, a
KL — сторона, не лежащая на
AD.
Тогда многоугольник заключен внутри треугольника, образованного
прямыми
KL,
BC и
CD.
Источники и прецеденты использования
