Задача 58122

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан выпуклый n-угольник A₁...A_n, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников A_pA_qA_r есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее n - 2.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение очевидно. Пусть n4. Фиксируем один остроугольный треугольник A_pA_qA_r и выбросим вершину A_k, отличную от вершин этого треугольника. К полученному (n-1)-угольнику можно применить предположение индукции. Кроме того, если, например, точка A_k лежит на дуге A_pA_q и  A_kA_pA_rA_kA_qA_r, то треугольник A_kA_pA_r остроугольный. В самом деле, A_pA_kA_r = A_pA_qA_r, A_pA_rA_k < A_pA_rA_q и  A_kA_pA_r90^o, а значит, A_kA_pA_r < 90^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	1
Название	Выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	22.011