Информация о задаче

Задача 58124

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры $\Psi$ существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.

Решение

Для каждого направления проведём опорные прямые к фигуре $\Psi$ и рассмотрим пересечение всех полуплоскостей, заданных этими прямыми и содержащих $\Psi$ . В результате получим выпуклую фигуру $\Phi$ . Она содержит $\Psi$ , поэтому её площадь больше. Кривая, ограничивающая $\Phi$ , отличается от кривой, ограничивающей $\Psi$ , тем, что некоторые криволинейные участки (или ломаные) заменены прямолинейными отрезками. Поэтому периметр $\Phi$ меньше периметра $\Psi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs9