Информация о задаче

Задача 58127

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если выпуклая фигура $\Phi$ отлична от круга, то существует фигура $\Phi{^\prime}$ , имеющая тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь.

Решение

Рассмотрим хорду AB, делящую пополам периметр фигуры $\Phi$ . Если AB делит фигуру $\Phi$ на две части разной площади, то согласно задаче 22.BIs11 существует фигура $\Phi{^\prime}$ , которая имеет тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь. Поэтому будем считать, что хорда AB делит фигуру $\Phi$ на две части равной площади. На границе $\Phi$ есть точка P, для которой $\angle$ APB $\ne$ 90^o, поскольку иначе $\Phi$ — круг с диаметром AB. Займёмся построением требуемой фигуры $\Phi{^\prime}$ . Построим прямоугольный треугольник P₁A₁B₁ с катетами P₁A₁ = PA и P₁B₁ = PB и приставим к его катетам сегменты, отсекаемые хордами PA и PB (рис.). Если такой сегмент будет теперь разрезан прямой A₁B₁, то, отразив одну из его частей относительно точки пересечения границы с прямой A₁B₁, получим фигуру, лежащую по одну сторону от прямой A₁B₁. Сегменты, прилегающие к катетам A₁P₁ и P₁B₁, не могут пересечься, поскольку угол между опорными прямыми в точке P₁ равен 90^o + $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ = 90^o + (180^o - $\angle$ APB) < 270^o.
Пусть $\Phi{^\prime}$ — фигура, состоящая из построенной нами фигуры и фигуры, симметричной ей относительно прямой A₁B₁. Тогда $\Phi{^\prime}$ имеет тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь, так как

S_A₁P₁B₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ A₁P₁^.B₁P₁ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AP^.BP = S_APB.

Замечание. Этими рассуждениями мы не доказали, что среди всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Мы не доказывали, что среди всех фигур данного периметра есть фигура наибольшей площади.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs12