Задача 58127

Тема:    [ Теорема Хелли ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если выпуклая фигура отлична от круга, то существует фигура , имеющая тот же периметр, что и , но большую площадь.

Решение

Рассмотрим хорду AB, делящую пополам периметр фигуры . Если AB делит фигуру на две части разной площади, то согласно задаче 22.BIs11 существует фигура , которая имеет тот же периметр, что и , но большую площадь. Поэтому будем считать, что хорда AB делит фигуру на две части равной площади. На границе есть точка P, для которой APB90^o, поскольку иначе — круг с диаметром AB. Займёмся построением требуемой фигуры . Построим прямоугольный треугольник P₁A₁B₁ с катетами P₁A₁ = PA и P₁B₁ = PB и приставим к его катетам сегменты, отсекаемые хордами PA и PB (рис.). Если такой сегмент будет теперь разрезан прямой A₁B₁, то, отразив одну из его частей относительно точки пересечения границы с прямой A₁B₁, получим фигуру, лежащую по одну сторону от прямой A₁B₁. Сегменты, прилегающие к катетам A₁P₁ и P₁B₁, не могут пересечься, поскольку угол между опорными прямыми в точке P₁ равен 90^o + + = 90^o + (180^o - APB) < 270^o.
Пусть — фигура, состоящая из построенной нами фигуры и фигуры, симметричной ей относительно прямой A₁B₁. Тогда имеет тот же периметр, что и , но большую площадь, так как

S_A1P1B1 = A₁P₁ ^. B₁P₁ > AP ^. BP = S_APB.

Замечание. Этими рассуждениями мы не доказали, что среди всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Мы не доказывали, что среди всех фигур данного периметра есть фигура наибольшей площади.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs12