Задача 58130

Тема:    [ Теорема Хелли ]

Сложность: 7+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны, причём многоугольник B₁...B_n вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника A₁...A_n.

Решение

Пусть K — круг, в который вписан многоугольник B₁...B_n. Построим на каждой стороне A_iA_{i + 1} многоугольника A₁...A_n внешним образом сегмент, равный сегменту, отсекаемому стороной B_iB_{i + 1} от круга K, и рассмотрим фигуру , состоящую из многоугольника A₁...A_n и этих сегментов. Два таких сегмента могут пересечься только если A_{i - 1}A_iA_{i + 1} - B_{i - 1}B_iB_{i + 1} > 180^o (рис.), а этого не может быть, поскольку многоугольник A₁...A_n выпуклый. Поэтому S = S_A1...An + S и S_K = S_B1...Bn + S, где S — сумма площадей сегментов. Ясно также, что P = P_K. Следовательно, согласно изопериметрическому неравенству S_KS, т.е. S_B1...BnS_A1...An, причём равенство достигается только в том случае, когда — круг, а многоугольник A₁...A_n вписанный.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs15