Задача 58131

Тема:    [ Теорема Хелли ]

Сложность: 7+ Классы: 8,9

Условие

Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна L, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна S. Докажите, что SL²/2.

Решение

Добавим к данному многоугольнику многоугольник, симметричный ему относительно границы полуплоскости. Полученный многоугольник имеет площадь 2S и периметр 2L. Поэтому согласно изопериметрическому неравенству 2S(2L)²/4, т.е. SL²/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	2
Название	Изопериметрическое неравенство
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.BIs15a