Условие
Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является
выпуклым многоугольником.
Решение
Пусть
M' — симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника
M
относительно прямой
l. Нужно доказать, что если
A и
B — точки
M', то
весь отрезок
AB принадлежит
M'. Рассмотрим два отрезка, по которым
пересекают
M' прямые, проходящие через точки
A и
B перпендикулярно
l.
Эти прямые пересекают
M по двум отрезкам такой же длины. Выпуклая оболочка
этих отрезков является трапецией, целиком лежащей в
M. При симметризации этой
трапеции получается трапеция, лежащая в
M'. Отрезок
AB принадлежит
полученной трапеции, поэтому он принадлежит
M'.
Источники и прецеденты использования
