Задача 58133

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Решение

Пусть M' — симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника M относительно прямой l. Нужно доказать, что если A и B — точки M', то весь отрезок AB принадлежит M'. Рассмотрим два отрезка, по которым пересекают M' прямые, проходящие через точки A и B перпендикулярно l. Эти прямые пересекают M по двум отрезкам такой же длины. Выпуклая оболочка этих отрезков является трапецией, целиком лежащей в M. При симметризации этой трапеции получается трапеция, лежащая в M'. Отрезок AB принадлежит полученной трапеции, поэтому он принадлежит M'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	3
Название	Симметризация по Штейнеру
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)
задача
Номер	22.012B