Информация о задаче

Задача 58136

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если M₁ и M₂ — выпуклые многоугольники, то $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ — выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников M₁ и M₂.
б) Пусть P₁ и P₂ — периметры многоугольников M₁ и M₂. Докажите, что периметр многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ равен $\lambda_{1}^{}$ P₁ + $\lambda_{2}^{}$ P₂.

Решение

Пусть $\lambda_{1}^{}$ A₁ + $\lambda_{2}^{}$ A₂ и $\lambda_{1}^{}$ B₁ + $\lambda_{2}^{}$ B₂ — точки фигуры $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ (здесь A_i и B_i — точки многоугольника M_i). Тогда фигура $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ содержит параллелограмм с вершинами $\lambda_{1}^{}$ A₁ + $\lambda_{2}^{}$ A₂, $\lambda_{1}^{}$ B₁ + $\lambda_{2}^{}$ A₂, $\lambda_{1}^{}$ B₁ + $\lambda_{2}^{}$ B₂, $\lambda_{1}^{}$ B₁ + $\lambda_{2}^{}$ A₂. Выпуклость фигуры $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ следует из того, что она содержит диагональ этого параллелограмма.
Предположим, что многоугольники M₁ и M₂ лежат по одну стороны от некоторой прямой l. Будем сдвигать эту прямую параллельно самой себе до тех пор, пока она впервые не соприкоснется с M₁ и с M₂ (вообще говоря, в разные моменты времени). Пусть a₁ и a₂ — длины отрезков, по которым l пересекает M₁ и M₂ в момент соприкосновения (a_i = 0, если прямая l не параллельна сторонам многоугольника M_i). Тогда в момент соприкосновения с фигурой $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ прямая l пересекает её по отрезку длины $\lambda_{1}^{}$ a₁ + $\lambda_{2}^{}$ a₂. Число $\lambda_{1}^{}$ a₁ + $\lambda_{2}^{}$ a₂ отлично от нуля лишь в том случае, когда одно из чисел a₁ и a₂ отлично от нуля.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	4
Название	Сумма Минковского
Тема	Сумма Минковского
задача
Номер	22.012B3