Информация о задаче

Задача 58138

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что S₁₂ $\ge$ $\sqrt{S_1S_2}$ , т.е. $\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$ $\ge$ $\lambda_{1}^{}$ $\sqrt{S_1}$ + $\lambda_{2}^{}$ $\sqrt{S_2}$ (Брунн).

Решение

Рассмотрим сначала случай, когда M₁ и M₂ — прямоугольники с параллельными сторонами. Пусть a₁ и b₁ — длины сторон прямоугольника M₁, a₂ и b₂ — длины сторон прямоугольника M₂ (сторона a₁ параллельна стороне a₂). Тогда $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ — прямоугольник со сторонами $\lambda_{1}^{}$ a₁ + $\lambda_{2}^{}$ a₂ и $\lambda_{1}^{}$ b₁ + $\lambda_{2}^{}$ b₂. Таким образом, нужно проверить неравенство

( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ a₁ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ a₂)( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ b₁ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ b₂) $\displaystyle \ge$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \sqrt{a_1b_1}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ $\displaystyle \sqrt{a_2b_2}$ )²,

т.е. a₁b₂ + a₂b₁ $\ge$ 2 $\sqrt{a_1a_2b_1b_2}$ . Это — неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел.
Рассмотрим теперь случай, когда многоугольник M₁ устроен следующим образом: n - 1 горизонтальных прямых разрезают его на n прямоугольников площади S₁/n; многоугольник M₂ устроен аналогично. Тогда площадь суммы прямоугольников с одинаковыми номерами не меньше

$\displaystyle \left(\vphantom{\lambda_1\sqrt{\frac{S_1}{n}}+\lambda_2\sqrt{\frac{S_2}{n}}}\right.$ $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{S_1}{n}}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{S_2}{n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\lambda_1\sqrt{\frac{S_1}{n}}+\lambda_2\sqrt{\frac{S_2}{n}}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{1}{n}}$ ( $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \sqrt{S_1}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ $\displaystyle \sqrt{S_2}$ )².

Каждая из таких сумм содержится в многоугольнике $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂. Ясно также, что все n таких сумм прямоугольников не перекрываются, поскольку сумма полосы, ограниченной параллельными прямыми l₁ и l₁', и полосы, ограниченной параллельными прямыми l₂ и l₂', является полосой, ограниченной прямыми $\lambda_{1}^{}$ l₁ + $\lambda_{2}^{}$ l₂ и $\lambda_{1}^{}$ l₁' + $\lambda_{2}^{}$ l₂' (предполагается, что прямая l₁ расположена выше прямой l₁', а прямая l₂ — выше l₂'). Следовательно, площадь многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ не меньше ( $\lambda_{1}^{}$ $\sqrt{S_1}$ + $\lambda_{2}^{}$ $\sqrt{S_2}$ )².
Многоугольники M₁ и M₂ можно с любой точностью приблизить многоугольниками рассмотренного выше вида, поэтому требуемое неравенство в случае выпуклых многоугольников общего вида доказывается предельным переходом.
Замечание. Неравенство S₁₂ $\ge$ $\sqrt{S_1S_2}$ называют неравенством Брунна-Минковского в связи с тем, что Минковский доказал, что это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда многоугольники M₁ и M₂ гомотетичны.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	4
Название	Сумма Минковского
Тема	Сумма Минковского
задача
Номер	22.012B5