Информация о задаче

Задача 58141

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

Решение

а) Обозначим данные фигуры через M₁, M₂, M₃ и M₄. Пусть A_i — точка пересечения всех фигур, кроме M_i. Возможны два варианта расположения точек A_i.
1. Одна из точек, например A₄, лежит внутри треугольника, образованного остальными точками. Так как точки A₁, A₂, A₃ принадлежат выпуклой фигуре M₄, то и все точки треугольника A₁A₂A₃ принадлежат M₄. Поэтому точка A₄ принадлежит M₄, а остальным фигурам она принадлежит по своему определению.
2. A₁A₂A₃A₄ — выпуклый четырехугольник. Пусть C — точка пересечения диагоналей A₁A₃ и A₂A₄. Докажем, что точка C принадлежит всем данным фигурам. Обе точки A₁ и A₃ принадлежат фигурам M₂ и M₄, поэтому отрезок A₁A₃ принадлежит этим фигурам. Аналогично отрезок A₂A₄ принадлежит фигурам M₁ и M₃. Следовательно, точка пересечения отрезков A₁A₃ и A₂A₄ принадлежит всем данным фигурам.
б) Доказательство проведем индукцией по числу фигур. Для n = 4 утверждение доказано в предыдущей задаче. Докажем, что если утверждение верно для n $\ge$ 4 фигур, то оно верно и для n + 1 фигуры. Пусть даны выпуклые фигуры $\Phi_{1}^{}$ ,..., $\Phi_{n}^{}$ , $\Phi_{n+1}^{}$ , каждые три из которых имеют общую точку. Рассмотрим вместо них фигуры $\Phi_{1}^{}$ ,..., $\Phi_{n-1}^{}$ , $\Phi_{n}{^\prime}$ , где $\Phi_{n}{^\prime}$ является пересечением $\Phi_{n}^{}$ и $\Phi_{n+1}^{}$ . Ясно, что фигура $\Phi_{n}{^\prime}$ тоже выпукла. Докажем, что любые три из новых фигур имеют общую точку. Сомнение в этом может возникнуть только для тройки фигур, содержащей $\Phi_{n}{^\prime}$ , но из предыдущей задачи следует, что фигуры $\Phi_{i}^{}$ , $\Phi_{j}^{}$ , $\Phi_{n}^{}$ и $\Phi_{n+1}^{}$ всегда имеют общую точку. Следовательно, по предположению индукции $\Phi_{1}^{}$ ,..., $\Phi_{n-1}^{}$ , $\Phi_{n}{^\prime}$ имеют общую точку, т. е. $\Phi_{1}^{}$ ,..., $\Phi_{n}^{}$ , $\Phi_{n+1}^{}$ имеют общую точку.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	5
Название	Теорема Хелли
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.012