Условие
а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно
выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из
точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения.
Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно
выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.
Решение
а) Для каждой стороны AB данного многоугольника рассмотрим полосу,
ограниченную перпендикулярами к прямой AB, проведёнными через точки A и
B. К этому набору выпуклых фигур добавим ещё и сам многоугольник. По условию
любые три из этих фигур имеют общую точку. Поэтому по теореме Хелли все
они имеют общую точку.
б) Пусть ABCD — данный выпуклый четырёхугольник. Согласно задаче а)
достаточно проверить, что требуемую точку O можно выбрать для любых трёх его
сторон. Докажем, например, что её можно выбрать для сторон AB, BC и CD.
Пусть X — множество всех точек четырёхугольника, для которых основания
перпендикуляров, опущенных на стороны AB и CD, лежат на самих этих
сторонах. По условию это множество не пусто. Рассмотрим три случая.
1) Углы B и C оба не тупые. Тогда нам подходит любая точка множества X.
2) Углы B и C оба тупые. Тогда нам подходит точка пересечения
перпендикуляров к AB и CD, восставленных из точек B и C.
3) Угол B не тупой, а угол C тупой. Тогда нам подходит любая точка
множества X, лежащая на перпендикуляре к прямой CD, восставленном из точки
C.
Источники и прецеденты использования
